章峰的网站

合集

  • Published:
  • Last Updated:
  • Category:Books

1. 集合

集合是指一个或多个无序的且不重复的对象组成的整体。最简单的方法来指明一个集合是用花括号括起所有对象，比如：\(\lbrace 1,2,7\rbrace\)。这个集合由3个元素组成，数字1、2和7。元素的顺序和重复是不重要的，所以\(\lbrace 2, 1, 7 \rbrace\)和 \(\lbrace 7,1,1,2\rbrace\)是同一个集合且只有3个元素。

集合中的成员用符号\(\in\)来表示“属于”。这个符号看起来跟希腊字母epsilon (\(\epsilon\))很像，但实际上是不同的。因此\(x \in A\)是表明元素\(x\)是集合\(A\)的成员。例如：\(2 \in \lbrace 1,2,7\rbrace\)。符号\(\notin\)表示不属于，就像\(2 \notin \lbrace1,2,7\rbrace\)。当符号\(\in\)反向写\(\ni\)表示“包含”，比如\(A \ni x\)。这和\(x \in A\)是一个意思。例如\(\lbrace1,2,7\rbrace \ni 7\)。

集合不包括任何元素被称为空集或零集。我们可以用符号\(\emptyset\)或\(\varnothing\)，或空的花括号\(\lbrace \rbrace\)表示。这些符号中\(\varnothing\) 表达的是最清楚的。

大集合很可能用少量元素加代表类似模式的省略号（\(\ldots\)）来表示。这对于表示有固定模式的无限集合和有限集合都很浅显易懂。比如：\(\lbrace1,2,3,\ldots,100\rbrace\)很明确地表示整数1到100，而\(\lbrace2,4,6,\ldots\rbrace\)则表示大于0的偶数集合。

然而，一个更准确的描述集合的方法是使用集合建构式符号（set builder notation）。这种注释格式是这样的：\(\lbrace x\in \Bbb Z:1 \leq x \leq 100 \rbrace\)。这个字母\(x\)是一个虚拟变量，它是用来代表这个集合的元素的名称。接着\(\in \Bbb Z\)意思是这个集合的元素来自正整数。然后用冒号间隔，后面接一个条件，它告诉我们哪些正整数在这个集合里。在这个例子中，它们是1到100的正整数。

有时候冒号会用竖线\(|\)代替，比如\(\lbrace u \in \Bbb Z | u \geq 100\rbrace\)，这表示集合是大于100的正整数。

第5页

冒号后面的条件也可以用词语表示。比如\(\lbrace a \in \Bbb Z: a能被5整除\rbrace\)，这代表集合\(\lbrace\ldots,-15,-10,-5,0,5,10,15,\ldots\rbrace\)。

如果上下文清晰，集合建构式符号是可以省略冒号的左边。\(\lbrace n:n>5\rbrace\)，这个表达的就不清楚，它是指所有大于5的实数还是指大于5的正整数呢？

当然冒号左边也可以更复杂的表达式。比如\(\lbrace(x,y):x+y=5\rbrace\)代表了一个集合对，它包括元素\((2,3)\)但是不包括\((4,4)\)。

此外，集合中有多种多样的关系和操作符，这里列举一些最常见的：

  • 集合相等。如果有集合集合\(A\)和集合\(B\)，\(A=B\)意味着集合\(A\)和\(B\)有相同的元素。

  • 子集。如果有集合\(A\)和集合\(B\)，\(A \subseteq B\)意思是每个属于A的元素也是集合B的元素。有些书中可能会简单地写\(A \subset B\)。这个意思是A是B的子集但是不相等。\(\subset / \subseteq\)和\(</\leq\)是比较类似的意思，但是在集合中不用小于号。此外，注意\(A \subseteq B\)与\(A\in B\)表达的并不是同一个事。

  • 超集。\(A \supseteq B\)就是\(B \subseteq A\)。也就是说A的元素包含了B的元素。

  • 并集。如果有集合\(A\)和集合\(B\)，\(A \bigcup B\)表示元素属于A或B或两者共有。例如\(\lbrace1,2,3\rbrace\bigcup \lbrace2,4,6\rbrace=\lbrace1,2,3,4,6\rbrace\)。有很多种方式表示两个集合不相交。常见的有\(+,\bigoplus,\biguplus\)。不相交这个注释表达了两层意思。首先两个集合不相交，即没有元素同时属于两个集合。第二，它是集合的并集。比如，\(A_1 \biguplus A_2 \biguplus \ldots \biguplus A_n =B\)，这表示1）对于所有\(i\neq j\)时\(A_i \cap A_j = \emptyset\)，2）集合$A_1,A_2,\ldots,A_n \(的并集是\)B$。

  • 交集。如果有集合\(A\)和集合\(B\)，\(A \bigcap B\)表示一个集合，它的元素同时属于\(A\)和\(B\)。例如\(\lbrace 1,2,3 \rbrace \bigcap \lbrace 2,4,6 \rbrace = \lbrace 2 \rbrace\)。

第6页

  • 差集。如果有集合\(A\)和集合\(B\)，\(A-B\)则表示这个集合的所有元素属于A但是不属于B。例如\(\lbrace 1,2,3 \rbrace - \lbrace 2,4,6 \rbrace = \lbrace 1,3 \rbrace\)。有人也会用\(A \setminus B\)来表示并集，与普通的减号区分开。

  • 补集。集合\(A\)的补集写成\(\overline A\)。它表示一个集合，且其元素不属于\(A\)。我们要根据上下文来理解这个注释。例如：如果谈论整数，\(X\)表示奇数集合，那么\(\overline X\)表示偶数集合，而不是表示除奇数外的所有实数或复数。通常，最好用\(\Bbb Z - X\)来表示\(X\)以外的集合。

  • 对称差。如果有集合\(A\)和集合\(B\)，\(A \triangle B\)表示一个集合且它的元素属于\(A\)或\(B\)但不属于它们俩共有的。例如\(\lbrace 1,2,3 \rbrace \triangle \lbrace 2,4,6 \rbrace = \lbrace 1,3,4,6 \rbrace\)。我们可知\(A \triangle B = (A \bigcup B)-(A \bigcap B)=(A-B) \bigcup (B-A)\)。

  • 势。如果\(A\)是一个集合，那么\(|A|\)表示\(A\)的元素个数，有时也会用#\(A\)来表示。例如，如果集合\(A = \lbrace 1,2,4 \rbrace\)，那么\(|A|=3\)。

  • 笛卡尔乘积。集合\(A\)和集合\(B\)的笛卡尔乘积为\(A \times B = \lbrace (a,b):a \in A,b\in B \rbrace\)。例如\(\lbrace 1,2,3 \rbrace \times \lbrace 3,4 \rbrace = \lbrace (1,3),(1,4),(2,3),(2,4),(3,3),(3,4) \rbrace\)。符号\(A^2\)表示\(A \times A\)，即所有的有序元素对\((x,y)\)，其中\(x,y \in A\)。当\(n\)是正整数时，\(A^n\)则表示一个集合，它的每个元素是长度为n的有序列表。

  • 幂集。集合\(A\)的幂集是指元素为A的所有子集的集合。通常用\(2^A\)或\(\mathcal P(A)\)。例如，如果\(A=\lbrace 1,2,3 \rbrace\)，那么\(\mathcal P(A)=2^A=\left \lbrace \lbrace 1,2,3 \rbrace,\lbrace 1,2\rbrace,\lbrace 1,3 \rbrace,\lbrace 2,3 \rbrace,\lbrace 1 \rbrace,\lbrace 2 \rbrace,\lbrace 3 \rbrace,\emptyset \right \rbrace\)。

  • 设定幂。如果有集合\(A\)和集合\(B\)，\(B^A\)表示一个集合，且它的元素是从A到B的所有函数（这个没看明白什么意思？），即\(B^A = \lbrace f | f:A \to B\rbrace\)。第25页有它的扩展\(f:A \to B\)。这个如果集合\(A\)和集合\(B\)是有限的，那么\(|A|=a\)和\(|B|=b\)，那么有\(b^a\)个函数从A到B，\(|B^A|=|B|^{|A|}\)。

第7页
  • 最大值和最小值。如果集合A是一个实数集合，那么max A表示集合A中最大的那个元素，min A则表示集合A中最小的那个元素。一般用楔形和V形符号来表示，如$x \wedge y = max \lbrace x,y \rbrace \(和\)x \vee y = min \lbrace x,y \rbrace$。不过并不是所有的集合都一定有最大值和最小值。与之相关的概念是上确界和下确界，分别用sup A和inf A来表示。

2. 列表

数学领域中，列表是指一个有序的对象集，对象的重复是有意义的。列表通常是用括号括起来，尽管有时候会使用中括号。例如\((1,2,2,3)\)是一个列表。而列表\((1,2,2,3), (1,2,3)\)和\((2,1,2,3)\)是三个不同的东西，因为这三个列表的元素顺序和个数是不同的。

一个有n个元素的列表有时也被称为一个n元组。

当我们用\(a\)来指代一个列表，那么列表的元素通常被命名为\(a_1,a_2\)等等。

3. 累加和累乘等

符号\(\sum\)和\(\prod\)的意思分别是累加和累乘。典型的累加注释有这样的格式：\(\sum_{j=start}^{stop} {expression\ involving\ j}\)。这里\(j\)是一个虚拟变量。比如：\(\sum_{j=1}^5{x^j}=x^1+x^2+x^3+x^4+x^5\)。如果累加的目标是无限大，这意味着这个累加会一直持续下去没有尽头：\(\sum_{n=0}^{\infty}{\frac{1}{2^n}}=1+\frac 1 2 +\frac 1 4+\frac 1 8 +\frac 1 {16}+\ldots\)。

符号\(\prod\)与\(\sum\)类似，不同的是运算符是乘法。例如\(\prod_{j=0}^5(2j+1)=1\times 3\times 5\times 7\times 9\times 11\)。

第8页

上面的例子中，下标（虚拟变量）是连续不间断的正整数。但是如果我们希望累加的下标是其它形式的怎么办？例如，当\(A\)是集合\(\lbrace 1,5,6,22 \rbrace\)，然后\(\sum_{t \in A}{t^2}=1^2+5^2+6^2+22^2\)。

当然，下标也可以是简单的英文描述。例如：

\[ \begin{smallmatrix}\prod_{p\ prime}{(1-\frac{1}{p})}=(1-\frac 1 2)\times(1-\frac 1 3)\times(1-\frac 1 5) \times(1-\frac 1 7)\times(1-\frac 1 {11})\times {\cdots}\end{smallmatrix} \]

有时候累加表达式可能不会显式地展示出上下标，即没有虚拟变量和上下限。这种情况下，通常重复的那个变量是上标或下标。比如说，你看出这样的表达式：\(\sum{\binom{n}{k}}x^k\)，那么\(k\)很可能是下标。我们得根据上下文推测\(k\)的范围。在这个例子中，由于二项式\(\binom{n}{k}\)的定义，那么\(k \geq 0\)，如果\(k >n\)的话整个二项式为0，所以可以得出\(k\)的范围是从0到\(n\)。通常，如果没有显式地标出上下限，那么默认要穷尽所有的范围。例如，当A是一个\(n\times m\)的矩阵，B是一个\(m\times p\)的矩阵，那么\(\sum{a_{i,j}}{b_{j,k}}\)意味着虚拟变量\(j=1,2,3,\ldots,m\)。

在某些情况下，如使用爱因斯坦求和约定时，为了方便，写累加表达式的时候会省略\(\sum\)符号。任何情况下上下标的虚拟变量被重复使用时，我们要对那个变量进行累加。例如，表达式\(a_{i,j}b_j\)的意思是\(\sum_j{a_{i,j}}b_j\)，我们需要在\(j\)的取值范围内进行累加。

按照这种约定，当A是一个方阵时，那么\(a_{i,i}\)指的是矩阵A的迹，即对角线上所有元素之和。对于合适的矩阵A和B，\(a_{i,j}b_{j,k}\)是指\(AB\)的第\(i\)行第\(k\)列的元素。

其它运算符也会使用类似于\(\sum\)和的注释。例如，当\(A_1,A_2,A3,\ldots\)是集合时，它们的并集可以写成：\(\bigcup_{i=1}^{\infty}A_i\)，这是指\(A_1 \bigcup A_2\bigcup A_3\bigcup \ldots\)。当然\(\bigcap_{i=1}^{\infty}\)是指它们的交集。

第9页

如果操作符太多的话，一般都会写成虚拟变量的形式。例如，当\(p_1,p_2,\ldots,p_n\)是逻辑值(真或假)时，\(\wedge_{i=1}^n{p_i}\)是指\(p_1 \wedge p_2 \wedge \ldots \wedge p_n\)。

第10页
Comments

欢迎留言，使用 GitHub 账号登录即可评论。