逻辑

1. 布尔操作和证明符号

　　数学中专业词汇：和，或，非 等一般都有特殊符号来表示。

• 和。$p\wedge q$这个符号表示我们常说的“p 和q”。有时候也会用符号&表示和。
• 或。$p\vee q$符号则表示"p 或q"。有时候也用竖线$|$表示或。
• 非。我们常说的"非p"用$\mathrm{\neg }p$或$\sim p$表示。注意很多数学关系符号会在上面加右斜线表示非的意思。比如说$\ne$（不等于）、$\notin$ （不属于）和$⊈$ （不包含）等等。
• 异或。$p⊻q$表示$p$或$q$但是不包含$p$和$q$的交集。有时候也会用$\oplus$符号或缩写“$XOR$或$xor$”来表示异或。
• 与非。$p⊼q$表示$\mathrm{\neg }(p\vee q)$。缩写为"nand".
• 推出。$a\Rightarrow b$表示如果$a$成立时那么可推出$b$，或b也成立。
• 被推出。$a\Leftarrow b$表示$a$可由$b$推出，或如果b成立那么a也成立。
• 当且仅当。$a⟺b$表示如果$a$成立时则$b$一定成立，而且如果$b$成立时则$a$也一定成立。通常缩写成 iff。
• 所以。三个点$\therefore$表示所以。
• 因为。倒立的三个点$\because$表示因为。
• 矛盾。符号$\Rightarrow \Leftarrow$表示证明过程中有矛盾。也就是说：我们证明过程中发现相互矛盾的地方，因此这个假设是错误的。
• 证明结束。当一个数学证明结束时，我们用方形$◻$或实方形$◼$来表示。缩写字符$QED$也可以表示“证明结束”。它是"Quod Erat Demonstrandum“的缩写。

2. 量词

　　数学符号$\mathrm{\forall }$和$\mathrm{\exists }$通常可以当作是“经常（always）”和“有时（sometimes）”的缩写。符号$\mathrm{\forall }$是被叫作“全称量词（universal quantifier）”，意思是任意（for all）。例如，$\mathrm{\forall }x\in \mathbb{R},x^2\ge 0$。这可以理解成：每个实数$x$都有一种属性，即$x^2$是大于0的。更通俗易懂可以理解成：所有实数的平方都会大于或者等于0。

　　符号$\mathrm{\exists }$被称作“存在量词（existential quantifier）”，意思是“至少存在一个”。比如：$\mathrm{\exists }x\in \mathbb{R},x^2=2$。这句话的意思是：肯定存在一个实数，它的平方等于2。这里我们知道是指$\sqrt{2}$。

　　为了使这个注释可以发音，有些人把"such that"的缩写s.t.插入到量词注释中：$\mathrm{\exists }x\in \mathbb{R}s.t.x^2=2$可以读成“有一个实数$x$使得$x^2=2$。

　　当$\mathrm{\exists }$后面跟着一个感叹号，它表示有一个“惟一”的对象满足条件。例如：$\mathrm{\exists }!\in \mathbb{R},x^2=0$。这是说有一个实数，它的平方等于0，且只有惟一一个这样的实数。

　　量词可以组合起来表示更复杂的意思。比如，加法的特性是可以相互交换，可以写成这样：$\mathrm{\forall }x\in \mathbb{R},\mathrm{\forall }y\in \mathbb{R},x+y=y+x$。然而，量词交换顺序会让注释很难解析。比如，$\mathrm{\forall }x\in \mathbb{R},\mathrm{\exists }y\in \mathbb{R},x+y=0$ 这表示无论什么时候我们选一个实数$x$，我们都可以找一个实数$y$，使得$x+y=0$。当然，这个$y$应该是$-x$。但是$\mathrm{\exists }y\in \mathbb{R},\mathrm{\forall }x\in \mathbb{R},x+y=0$ 这就是一个错误的推断，这是说存在一个魔幻数字$y$，它和任意一个实数$x$相加都等于0。