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1. 集合

　　集合是指一个或多个无序的且不重复的对象组成的整体。最简单的方法来指明一个集合是用花括号括起所有对象，比如： ${1, 2, 7}$ 。这个集合由3个元素组成，数字1、2和7。元素的顺序和重复是不重要的，所以 ${2, 1, 7}$ 和 ${7, 1, 1, 2}$ 是同一个集合且只有3个元素。

　　集合中的成员用符号 $\in$ 来表示“属于”。这个符号看起来跟希腊字母epsilon ( $ϵ$ )很像，但实际上是不同的。因此 $x \in A$ 是表明元素 $x$ 是集合 $A$ 的成员。例如： $2 \in {1, 2, 7}$ 。符号 $\notin$ 表示不属于，就像 $2 \notin {1, 2, 7}$ 。当符号 $\in$ 反向写 $∋$ 表示“包含”，比如 $A ∋ x$ 。这和 $x \in A$ 是一个意思。例如 ${1, 2, 7} ∋ 7$ 。

　　集合不包括任何元素被称为空集或零集。我们可以用符号 $\emptyset$ 或 $\emptyset$ ，或空的花括号 ${}$ 表示。这些符号中 $\emptyset$ 表达的是最清楚的。

　　大集合很可能用少量元素加代表类似模式的省略号（ $\dots$ ）来表示。这对于表示有固定模式的无限集合和有限集合都很浅显易懂。比如： ${1, 2, 3, \dots, 100}$ 很明确地表示整数1到100，而 ${2, 4, 6, \dots}$ 则表示大于0的偶数集合。

　　然而，一个更准确的描述集合的方法是使用集合建构式符号（set builder notation）。这种注释格式是这样的： ${x \in Z : 1 \leq x \leq 100}$ 。这个字母 $x$ 是一个虚拟变量，它是用来代表这个集合的元素的名称。接着 $\in Z$ 意思是这个集合的元素来自正整数。然后用冒号间隔，后面接一个条件，它告诉我们哪些正整数在这个集合里。在这个例子中，它们是1到100的正整数。

　　有时候冒号会用竖线 $|$ 代替，比如 ${u \in Z | u \geq 100}$ ，这表示集合是大于100的正整数。

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　　冒号后面的条件也可以用词语表示。比如 ${a \in Z : a 能被 5 整除}$ ，这代表集合 ${\dots, - 15, - 10, - 5, 0, 5, 10, 15, \dots}$ 。

　　如果上下文清晰，集合建构式符号是可以省略冒号的左边。 ${n : n > 5}$ ，这个表达的就不清楚，它是指所有大于5的实数还是指大于5的正整数呢？

　　当然冒号左边也可以更复杂的表达式。比如 ${(x, y) : x + y = 5}$ 代表了一个集合对，它包括元素 $(2, 3)$ 但是不包括 $(4, 4)$ 。

　　此外，集合中有多种多样的关系和操作符，这里列举一些最常见的：

集合相等。如果有集合集合 $A$ 和集合 $B$ ， $A = B$ 意味着集合 $A$ 和 $B$ 有相同的元素。
子集。如果有集合 $A$ 和集合 $B$ ， $A \subseteq B$ 意思是每个属于A的元素也是集合B的元素。有些书中可能会简单地写 $A \subset B$ 。这个意思是A是B的子集但是不相等。 $\subset / \subseteq$ 和 $< / \leq$ 是比较类似的意思，但是在集合中不用小于号。此外，注意 $A \subseteq B$ 与 $A \in B$ 表达的并不是同一个事。
超集。 $A \supseteq B$ 就是 $B \subseteq A$ 。也就是说A的元素包含了B的元素。
并集。如果有集合 $A$ 和集合 $B$ ， $A ⋃ B$ 表示元素属于A或B或两者共有。例如 ${1, 2, 3} ⋃ {2, 4, 6} = {1, 2, 3, 4, 6}$ 。有很多种方式表示两个集合不相交。常见的有 $+, ⨁, ⨄$ 。不相交这个注释表达了两层意思。首先两个集合不相交，即没有元素同时属于两个集合。第二，它是集合的并集。比如， $A_{1} ⨄ A_{2} ⨄ \dots ⨄ A_{n} = B$ ，这表示1）对于所有 $i \neq j$ 时 $A_{i} \cap A_{j} = \emptyset$ ，2）集合 $A_{1}, A_{2}, \dots, A_{n}$ 的并集是 $B$ 。
交集。如果有集合 $A$ 和集合 $B$ ， $A ⋂ B$ 表示一个集合，它的元素同时属于 $A$ 和 $B$ 。例如 ${1, 2, 3} ⋂ {2, 4, 6} = {2}$ 。

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差集。如果有集合 $A$ 和集合 $B$ ， $A - B$ 则表示这个集合的所有元素属于A但是不属于B。例如 ${1, 2, 3} - {2, 4, 6} = {1, 3}$ 。有人也会用 $A ∖ B$ 来表示并集，与普通的减号区分开。
补集。集合 $A$ 的补集写成 $\overset{―}{A}$ 。它表示一个集合，且其元素不属于 $A$ 。我们要根据上下文来理解这个注释。例如：如果谈论整数， $X$ 表示奇数集合，那么 $\overset{―}{X}$ 表示偶数集合，而不是表示除奇数外的所有实数或复数。通常，最好用 $Z - X$ 来表示 $X$ 以外的集合。
对称差。如果有集合 $A$ 和集合 $B$ ， $A △ B$ 表示一个集合且它的元素属于 $A$ 或 $B$ 但不属于它们俩共有的。例如 ${1, 2, 3} △ {2, 4, 6} = {1, 3, 4, 6}$ 。我们可知 $A △ B = (A ⋃ B) - (A ⋂ B) = (A - B) ⋃ (B - A)$ 。
势。如果 $A$ 是一个集合，那么 $| A |$ 表示 $A$ 的元素个数，有时也会用# $A$ 来表示。例如，如果集合 $A = {1, 2, 4}$ ，那么 $| A | = 3$ 。
笛卡尔乘积。集合 $A$ 和集合 $B$ 的笛卡尔乘积为 $A \times B = {(a, b) : a \in A, b \in B}$ 。例如 ${1, 2, 3} \times {3, 4} = {(1, 3), (1, 4), (2, 3), (2, 4), (3, 3), (3, 4)}$ 。符号 $A^{2}$ 表示 $A \times A$ ，即所有的有序元素对 $(x, y)$ ，其中 $x, y \in A$ 。当 $n$ 是正整数时， $A^{n}$ 则表示一个集合，它的每个元素是长度为n的有序列表。
幂集。集合 $A$ 的幂集是指元素为A的所有子集的集合。通常用 $2^{A}$ 或 $P (A)$ 。例如，如果 $A = {1, 2, 3}$ ，那么 $P (A) = 2^{A} = {{1, 2, 3}, {1, 2}, {1, 3}, {2, 3}, {1}, {2}, {3}, \emptyset}$ 。
设定幂。如果有集合 $A$ 和集合 $B$ ， $B^{A}$ 表示一个集合，且它的元素是从A到B的所有函数（这个没看明白什么意思？），即 $B^{A} = {f | f : A \to B}$ 。第25页有它的扩展 $f : A \to B$ 。这个如果集合 $A$ 和集合 $B$ 是有限的，那么 $| A | = a$ 和 $| B | = b$ ，那么有 $b^{a}$ 个函数从A到B， $| B^{A} | = | B |^{| A |}$ 。

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最大值和最小值。如果集合A是一个实数集合，那么max A表示集合A中最大的那个元素，min A则表示集合A中最小的那个元素。一般用楔形和V形符号来表示，如 $x \land y = m a x {x, y}$ 和 $x \lor y = m i n {x, y}$ 。不过并不是所有的集合都一定有最大值和最小值。与之相关的概念是上确界和下确界，分别用sup A和inf A来表示。

2. 列表

　　数学领域中，列表是指一个有序的对象集，对象的重复是有意义的。列表通常是用括号括起来，尽管有时候会使用中括号。例如 $(1, 2, 2, 3)$ 是一个列表。而列表 $(1, 2, 2, 3), (1, 2, 3)$ 和 $(2, 1, 2, 3)$ 是三个不同的东西，因为这三个列表的元素顺序和个数是不同的。

　　一个有n个元素的列表有时也被称为一个n元组。

　　当我们用 $a$ 来指代一个列表，那么列表的元素通常被命名为 $a_{1}, a_{2}$ 等等。

3. 累加和累乘等

　　符号 $\sum$ 和 $\prod$ 的意思分别是累加和累乘。典型的累加注释有这样的格式： $\sum_{j = s t a r t}^{s t o p} e x p r e s s i o n i n v o l v i n g j$ 。这里 $j$ 是一个虚拟变量。比如： $\sum_{j = 1}^{5} x^{j} = x^{1} + x^{2} + x^{3} + x^{4} + x^{5}$ 。如果累加的目标是无限大，这意味着这个累加会一直持续下去没有尽头： $\sum_{n = 0}^{\infty} \frac{1}{2^{n}} = 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} + \frac{1}{16} + \dots$ 。

　　符号 $\prod$ 与 $\sum$ 类似，不同的是运算符是乘法。例如 $\prod_{j = 0}^{5} (2 j + 1) = 1 \times 3 \times 5 \times 7 \times 9 \times 11$ 。

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　　上面的例子中，下标（虚拟变量）是连续不间断的正整数。但是如果我们希望累加的下标是其它形式的怎么办？例如，当 $A$ 是集合 ${1, 5, 6, 22}$ ，然后 $\sum_{t \in A} t^{2} = 1^{2} + 5^{2} + 6^{2} + 22^{2}$ 。

　　当然，下标也可以是简单的英文描述。例如：

$\begin{matrix} \prod_{p p r i m e} (1 - \frac{1}{p}) = (1 - \frac{1}{2}) \times (1 - \frac{1}{3}) \times (1 - \frac{1}{5}) \times (1 - \frac{1}{7}) \times (1 - \frac{1}{11}) \times \dots \end{matrix}$

　　有时候累加表达式可能不会显式地展示出上下标，即没有虚拟变量和上下限。这种情况下，通常重复的那个变量是上标或下标。比如说，你看出这样的表达式： $\sum (\binom{n}{k}) x^{k}$ ，那么 $k$ 很可能是下标。我们得根据上下文推测 $k$ 的范围。在这个例子中，由于二项式 $(\binom{n}{k})$ 的定义，那么 $k \geq 0$ ，如果 $k > n$ 的话整个二项式为0，所以可以得出 $k$ 的范围是从0到 $n$ 。通常，如果没有显式地标出上下限，那么默认要穷尽所有的范围。例如，当A是一个 $n \times m$ 的矩阵，B是一个 $m \times p$ 的矩阵，那么 $\sum a_{i, j} b_{j, k}$ 意味着虚拟变量 $j = 1, 2, 3, \dots, m$ 。

　　在某些情况下，如使用爱因斯坦求和约定时，为了方便，写累加表达式的时候会省略 $\sum$ 符号。任何情况下上下标的虚拟变量被重复使用时，我们要对那个变量进行累加。例如，表达式 $a_{i, j} b_{j}$ 的意思是 $\sum_{j} a_{i, j} b_{j}$ ，我们需要在 $j$ 的取值范围内进行累加。

　　按照这种约定，当A是一个方阵时，那么 $a_{i, i}$ 指的是矩阵A的迹，即对角线上所有元素之和。对于合适的矩阵A和B， $a_{i, j} b_{j, k}$ 是指 $A B$ 的第 $i$ 行第 $k$ 列的元素。

　　其它运算符也会使用类似于 $\sum$ 和的注释。例如，当 $A_{1}, A_{2}, A 3, \dots$ 是集合时，它们的并集可以写成： $⋃_{i = 1}^{\infty} A_{i}$ ，这是指 $A_{1} ⋃ A_{2} ⋃ A_{3} ⋃ \dots$ 。当然 $⋂_{i = 1}^{\infty}$ 是指它们的交集。

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　　如果操作符太多的话，一般都会写成虚拟变量的形式。例如，当 $p_{1}, p_{2}, \dots, p_{n}$ 是逻辑值(真或假)时， $\land_{i = 1}^{n} p_{i}$ 是指 $p_{1} \land p_{2} \land \dots \land p_{n}$ 。

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最近更新于 Sep 3, 2020

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